【提交者: jiyanjiang】1、经典统计[1]

N个粒子组成的系统可用相空间中一个代表点(q_i,p_i)表示。随着时间的变化，代表点会在相空间中运动，满足正则方程：

现在，我们考虑一个系综，即给定系统大量思维复本（mental copies）的集合。系综中每个成员对应相空间中的一个代表点。我们期望系综中各成员在任意时刻t处在所有可能微观状态，并假定宏观态是全体系综成员所共有的状态。我们定义ρ(q,p;t)是t时刻系综代表点在(q,p)附近的密度函数。由于给定系综既不接受新成员，也不驱除老成员，即代表点的总数守恒，因此得到代表点的连续性方程：


经过计算可得到刘维定理（Liouville's theorem）：


根据刘维定理，代表点的密度不随时间变化，这表明代表点在相空间中的运动与不可压缩流体的运动相同。如果：{ρ,H}=0，则：ρ(q,p)=常数，这就是"等几率假设"，相应的系综是微正则系综。物理量f(q,p)的系综平均可表示为：


实际测量中，我们测量的都是物理量对时间的平均，即：


测量时间τ应远大于系统微观碰撞过程的特征时间，即我们在使用测量仪器完成测量时系统已经完成了无穷多个碰撞过程，经历了无穷多可能的微观状态。我们把这些微观状态用相空间中的代表点表示，并假设这些代表点均匀地分布在相空间允许区域的每个部分，这就是所谓的"各态历经定理"或"各态历经假说（ergodic hypothesis）"。

各态历经假说最早是由玻尔兹曼在1871年提出的，即："一个代表点的轨迹随着时间的推移将通过相空间允许区域的任何点的任何邻域。"（这与玻尔兹曼的原始叙述稍有不同，称为"准各态历经假说"）。这样我们就可通过计算物理量的系综平均来得到物理量的宏观测量值（长时间平均值）。

可见对于微正则系综（E保持不变），系统并不是完全孤立的，而是与环境保持着"热接触"，环境可看作是除系统外全部的宇宙，环境的运动状态我们是无法完全确定的。这样，系统由于与环境的相互作用，将以完全随机（只有对上帝来说才可能是伪随机的）的方式演化，因此只要时间足够长，代表点将均匀地充满整个相空间的允许区域。这样我们就把描述宏观现象的统计物理方法与描述微观现象的动力学理论自洽地联系起来了。

2、量子统计[2]

类似于对经典统计的讨论，我们认为系统与环境处在热平衡状态。在量子力学语言中，我们使用波函数ψ(x,t)表示系统微观运动状态。假设系统哈密顿为H，存在能量本征态φ_n(x)，即：


这里{φn(x)}组成完全集，因此ψ(x,t)可表示为：


系统的每一个能量本征态φ_n(x)都对应有一个环境的状态，用波函数c_n(y,t)表示。这样总波函数可写成系统波函数与环境波函数直乘的形式：


这里我们用x表示系统的变量，y表示环境的变量，系数c_n(t)在形式上归入环境波函数 ；现在计算系统力学量A（即只对系统波函数ψ有作用）的量子力学平均：


由于c_n(y,t)不一定是环境的本征函数，所以不能进一步化简。对系统测量物理量A的宏观取值，即对应求物理量A的长时间平均（注意：这是第二次求平均，第一次是求量子力学平均）。


假设〈Ψ|Ψ〉保持守恒（几率守恒，即不考虑有粒子粒子产生和湮灭的过程），则：


是不含时的。现在我们做如下假设：

1：先验等几率假设（Postulate of equal a Priori Probability）：如果E≤En≤E+Δ (Δ→0)，〈c_n|c_n〉= 常数，否则〈c_n|c_n〉= 0。（对应微正则系综）

2：无规相假设（Postulate of random phases）：假设环境也存在能量本征态{θ_j(y)}、m≠n，计算：


假设不同时刻计算出来的相位i(θ_mj-θ_nj)完全随机，则：


这意味着由于系统与环境的相互作用，系统波函数ψ是完全集φ_n的非相干迭加。量子相干性以及系统与环境之间是否存在去相干（decoherence）是宏观物理学（量子统计适用）与微观物理学（薛定谔方程、量子动力学演化）的判据[3]。

我们可以把波函数ψ定义为系综的形式：


密度算符定义为：


力学量A的系综平均：


量子刘维定理：


参考文献：
[1]帕斯里亚 《统计力学 上册》（中译本），pp49；
[2]K. Huang, Statistical Mechanics, ^2nd edition, John Wiley & Sons, pp171
[3]Michael W. Noel and C. R. Stroud, Jr., Phys. Rev. Lett 77 1913 (1996).

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